简介

本博客模板包含数学公式的解析和显示功能。数学公式的解析由 remark-math 和 rehype-katex 实现。 KaTeX 及其相关字体已包含在 _document.js 中，因此您可以在任何页面上自由使用。 ¹

行内数学符号可以通过将术语包含在 $ 符号之间来实现。

数学代码块用 $$ 表示。

如果您打算使用 $ 符号而不是数学公式，可以对其进行转义（\$），或指定 HTML 实体（$）²

行内或手动编号的脚注也受支持。点击上面的链接查看实际效果。

推导OLS估计量

使用矩阵符号，令 $n$ 表示观测值数量，$k$ 表示回归变量数量。

结果变量向量 $\mathbf{Y}$ 是一个 $n \times 1$ 矩阵，

回归变量矩阵 $\mathbf{X}$ 是一个 $n \times k$ 矩阵（或者说每一行是一个 $k \times 1$ 向量），

误差项向量 $\mathbf{U}$ 也是一个 $n \times 1$ 矩阵。

有时使用向量符号可能更容易。为了保持一致性，我将使用粗体小写 x 表示向量，使用大写字母表示矩阵。单个观测值用下标表示。

最小二乘法

起点：
$y_i = \mathbf{x}'_i \beta + u_i$

假设：

1. 线性性（如上所述）
2. $E(\mathbf{U}|\mathbf{X}) = 0$（条件独立性）
3. $\text{rank}(\mathbf{X}) = k$（无多重共线性，即满秩）
4. $Var(\mathbf{U}|\mathbf{X}) = \sigma^2 I_n$（同方差性）

目标：
找到最小化平方误差之和的 $\beta$：

求解：
提示：$Q$ 是一个 $1 \times 1$ 标量，根据对称性 $\frac{\partial b'Ab}{\partial b} = 2Ab$。

对 $\beta$ 取矩阵导数：